×
Вхід:
smirnov
Сергiй Анатолiйович Смирнов

перший заступник директора ФТІ, доцент кафедри інформаційної безпеки

Питання до заліку з функціонального аналізу 2015

  1. Множини і операції. Аксіома вибору, принцип Банаха-Тарського, теорема Цермело, лема Цорна.
  2. Класичні нерівності: Коши-Буняковського, Мінковського, Гьольдера.
  3. Означення метричного простору. Приклади метричних просторів.
  4. Повнота метричних просторів. Приклади.
  5. Відкриті та замкнені множини у метричних просторах.
  6. Кулі у метричних просторах.
  7. Поповнення метричного простору. Приклади: числова пряма, тяглі функції з інтегральними метриками.
  8. Теорема про нерухому точку стискаючих відображень.

  9. Теорема Пікара для ОДУ.

  10. Рівняння Фредгольма та нелінійні інтегральні рівняння.

  11. Посилений принцип Банаха, рівняння Вольтера.

  12. Метод Ньютона (метод дотичних).

  13. Лінійні простори, підпростори, факторпростори. Лінійні функціонали (ЛФ).

  14. Приклади нескінченновимірних лінійних просторів.
  15. Опуклість, однорідно-опуклі функціонали. Ядро, опукле тіло.
  16. Функціонал Мінковського та його властивості.
  17. Продовження ЛФ, теорема Хана-Банаха.
  18. Віддільність опуклих множин у лінійному просторі.
  19. Нормовані та банахові простори. Приклади.
  20. Метрика і норма. Збіжність у нормованих просторах.
  21. Евклідові та гільбертові простори.
  22. Ортогональні системи векторів у гільбертових просторах.
  23. Процедура ортогоналізації Грама ­– Шмідта. Ортогональні многочлени.
  24. Нерівність Беселя.
  25. Ортогональні базиси у сепарабельному гільбертовому просторі.
  26. Рівність Парсеваля.
  27. Ортогональні підпростори, ортогональне доповнення.
  28. Теорема Ріса – Фішера. Ізоморфізм сепарабельних гільбертових просторів.
  29. Неперервні лінійні функціонали на банаховому просторі. Норма функціоналу, її геометрична інтерпретація.
  30. Теорема Хана-Банаха у ЛНП. Теореми про віддільність, лема про анулятор.
  31. Спряжений простір, повнота. Приклади спряжених просторів.
  32. Структура простору, спряженого гильбертову.
  33. Другий спряжений простір, рефлексивність. Теорема про ізометричне вкладення, приклади.
  34. Слабка збіжність, обмеженість, приклади.
  35. Концепція узагальненої функції.
  36. Простір основних функцій Шварца (гладких фінитних функцій).
  37. Регулярні та сингулярні узагальнені функції. Приклади основних узагальнених функцій, які зустрічаються у фізиці та техниці.
  38. Диференціювання узагальнених функцій. Диференціальні рівняння у класі узагальнених функцій.

  39. Лінійні обмежені оператори у нормованих просторах. Обмеженість і неперервність. Приклади обмежених та необмежених операторів.
  40. Норма обмеженого оператора. Банаховий простір.
  41. Добуток операторів. Оцінка норми добутку.
  42. Ядро оператора. Обернений оператор. Теорема Банаха про ОО.
  43. Лема про трійку.
  44. Лема про анулятор ядра.
  45. Лінійні обмежені оператори у гільбертовому просторі. Спряжений оператор. Приклади. Самоспряжений оператор
  46. Спектр та резольвента лінійного оператора. Точковий, неперервний та залишковий спектр. Приклади.

ЛІТЕРАТУРА

  1. А.М. Колмогоров, С.В. Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. Вища школа, Київ, 1974.
  2. Босс В. Лекции по математике. Т. 5: Функциональный анализ. — М.: КомКнига, 2005. 216 с.
  3. Треногин В. А. Функциональный анализ. —М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980., – 496 с.
  4. Ус С.А. Функціональний аналіз: навч. посібник. – Д. : Національний гірничий університет, 2013. – 236 с.
Грудень 10, 2015